数学极限的思想总结（锦集10篇）

转眼间，寒冬来临。为了放松学生心情，调整心态,积极地投入到学习中;为了增强同学们的团队合作精神，团结同学;为了丰富同学们的课余生活，使大学生活更加丰富多彩;为了培养同学们在学校的主人翁意识，能够更加热情地面对生活，我院公寓部举办了此户外活动。

通过这次活动，让同学们感受到冬天的温暖，那就是有趣多彩的生活。同时，也让同学们认识到，大学不仅仅是教室和宿舍的世界，在户外我们依然可以像春天的花朵和蝴蝶一样美丽。更重要的是，让学生感受到友谊和默契的力量。

从全局来看，这次活动比较成功。在整个活动过程中，每个人都洋溢着可爱的笑容，没有出现特别困难的紧急情况。不过，瑕疵依然存在。

不足之处总结如下：1。因为此活动是户外活动，所以时间是星期六。

考虑到各种因素，最后的时间定在上午9点。但是，因为是周末，站在大家的角度上来看，按时来参赛真的很困难，以至于当天来参赛的人员比预期中的要少许多，而且最初报了名的参赛人员也有许多没有来参加比赛。因此，今后的户外活动时间尽量合理，让更多的学生能够快乐地参与其中，而不是勉强。

二﹑天气的变化。那天的天气不是很好，冬天阴天到处都是灰色，这使人们更加困倦。在活动过程中，下雨了。

这使得我们的活动无法正常进行，也完全无法达到最初的目的。因为大家都想早点结束，最初的热情也貌似被雨水浇熄了，不是来“玩”的，而是来完成任务的，这就失去了此次活动的意义。不过，活动还是顺利进行到最后。

所以，以后的户外活动，一定要把握好天气的变化，最好是准备两个方案，以此来应对天气变化给活动带来的阻碍。三是突发事件处置不够灵活。活动前，工作人员发现一个呼啦圈坏了，因为及时发现，我们又借了一个。

但是，在活动快要进行的时候，又坏了一个，以至于原本的两个场地，只能有一个正常工作。然而，看到雨越来越大，这使活动的进行变得更加缓慢。就这样，一组一组地进行得很慢，但最终，两个场馆仍在正常工作。

因此，在今后的活动中，面对突发事件，希望大家都能灵活一些，不要那么死板。只有灵活，活动才能更有效率和质量。

这次活动不仅让我们收获了经验，也收获了更多宝贵的友谊。我们一起忙碌，在雨中欢笑奔跑，这些将是我们共同的美好回忆。在整个活动中，大家的积极性都很高，能很好地配合我们的安排，并高效地完成。

此外，这次活动也培养了彼此之间的默契，使我们的距离越来越近。这些都在一定程度上为以后的活动奠定了一定的基础。

总而言之，这次活动比较成功。虽然价值没有完全得以体现，目的没有顺利达到，但是其中的乐趣和经验却是可贵的。希望此次活动能够给大家带来帮助，也希望大家能够吸取教训，不断地总结经验，不断地提高工作能力，把今后的活动办得更好！

也希望我们这个大家庭能成为冬天的一缕阳光，温暖大家的心！

总结人：某某

信息工程学院公寓部

2013年11月28日

数学极限的思想总结（4）

求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。

极限的计算常用方法：

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的`麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

与极限计算相关知识点包括：

1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；

3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；

4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。

下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

重要题型及点拨

1、求数列极限

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

★抽象数列求极限

这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

★求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：

a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。

首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。

b、利用函数极限求数列极限

如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

★求n项和或n项积数列的极限，主要有以下几种方法：

a、利用特殊级数求和法

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

b、利用幂级数求和法

若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

c、利用定积分定义求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

d、利用夹逼定理求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。

e、求n项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

数学极限的思想总结（5）

§1.3 数列极限是否存在的条件

在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题)；

若极限存在，再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两个基本问题。

在实际应用中，解决了数列{an}极限的存在性问题之后，即使极限的计算较为困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极

限a，故可用an作为a的近似值。

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每一个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

若数列{an}的各项满足关系户式anan1(anan1)则称{an}为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理1（单调有界定理）单调有界数列必收敛（必有极限）。证明：不妨设{an}为有上界的递增数列。

由确界原理，数列{an}有上确界，记asup{an}。下面证明limana。事实上，0，按上确界的定义，存在{an}中某一项aN，n

使得aaN。又由{an}的递增性，当nN时有aaNan。

另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有

anaa。从而当nN时有aaNana。

ana。这就证明了limn

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限为它的下确界。

aimxn.例1 a0,x10.xn11xn.求ln2xn

a

解：由均值不等式, 得xn11xn

2

xn

xn

a

a.{xn}有下xn

界;

不偿失注意到对n,有xna, 并且

xn11a1an

111.x↘···, 22xn2xn2(a)

故

例2

limxna.n

n

1数列1单调有界性.n

证明: 设

1

xn1.应用二项式展开，得

n

1n(n1)1n(n1)(n2)1n(n1)321123nn2!3!n!nnn

n

xn1n

11

11112112n1

111111，2!n3!nnn!nnn

xn111

11112111 2!n13!n1n1

+

注意到

11n

11;(n1)!n1n1

11

11, nn1

22

11, nn1

n1n1

,11.nn1

且xn1比xn多一项

0xn11

11n110, xn1xn,(n1)!n1n1

即xn↗.11111111 2!3!n!1223(n1)n

111111

1111113.xn有界.n223n1n

综上, 数列{xn}单调有界.单调有界定理只是数列收敛的充分条件。下面给出在实数系

中数列收敛的充分必要条件。

定理2（柯西Cauchy收敛准则）数列{an}收敛的充要条件是：

0,N0，使得当n,mN时有|anam|。

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题。柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

柯西收敛准则把N定义中an与a的关系换成了an与am的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛性。

例3：证明任一无限十进小数a0.bb12bn的n位不足近似所组成的数列

bb1b1b2bb,2,,122nn, 101010101010

(2)

满足柯西条件(从而收敛)，其中bk为0,1,2,,9中的一个数，k1,2,。

证明： 记an

|anam|

bb1b2

2nn101010

。不妨nm，则有

bm1bm2bn911

1m1m2nm1nm11010101010101111

1mnmm

101010m



对任给的0，取N

，则对一切nmN有|anam|。这就证

明了数列(2)满足柯西条件。

利用Cauchy收敛准则求极限的例子。

例3：设x1y11，xn1xn2yn，yn1xnyn，求lim

n

xnyn；

解： 设an由于an1

xnyn，显然an1., 则

xn1xn2yn1

1yn1xnyn1an

an1an



1an1an1

anan1



anan1n1a2a144

于是

1an1an1.anpananpanp1anp1anp2an1an

anpanp1anp1anp2an1an

1

np2414n1

1p11n1a2a1n1a2a1144

14

1



a2a10(n).3

xn存在，把它记为a.由Cauchy收敛准则知：limn

由极限的四则运算，在an11

a22．

11an

两端同时取极限n，得

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注意到an1，故lim

n

xn

liman2． ynn

注：Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.

数学极限的思想总结（6）

求极限方法总结

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下：

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了你还能有补充么???)

1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提

必须是 X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

(还有一点 数列极限的'n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷)

必须是 函数的导数要存在(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死)

必须是 0比0 无穷大比无穷大

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了

30的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 )E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母看上去复杂处理很简单

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了

6夹逼定理(主要对付的是数列极限)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方 快于 x 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢)当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义)

数学极限的思想总结（7）

Xupeisen110高中数学

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



1n

3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

422n12

数学极限的思想总结（8）

摘 要：数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。

通常混称为“数学思想方法”。

而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。

而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。

在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。

笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程(组)，这就是方程思想的由来。

在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。

而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。

例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。

在近代数学中，与方程思想密切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。

数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，对于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学;有了变数，辨证法进入了数学;有了变数，微分与积分也立刻成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。

在小学数学教材的练习中有如下形式：

6×3= 20×5= 700×800=

60×3= 20×50= 70×800=

600×3= 20×500= 7×800=

有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。

有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点(找规律)，答案的变化是怎样引起的?然后再出现下面两组题：

45×9= 1800÷200=

15×9= 1800÷20=

5×9= 1800÷2=

通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。

研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。

中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键;在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程;再如一元方程x+a=b等等。

学好这些函数是继续深造所必需的;构造函数，需要思维的飞跃;利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。

应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。

它具有不可逆转的单向性。

例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1/2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3/4米。

它们每秒种都只跳一次。

比赛途中，从起点开始，每隔12 3/8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米?

这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸(或黄鼠狼)第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1/2(或2 3/4)米的整倍数，又是陷阱间隔12 3/8米的整倍数，也就是4 1/2和12 3/8的.“ 最小公倍数”(或2 3/4和12 3/8的“最小公倍数”)。

针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。

上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。

在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想;在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的;在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

当然，在数学教育中，加强数学思想不只是单存的思维活动，它本身就蕴涵了情感素养的熏染。

而这一点在传统的数学教育中往往被忽视了。

我们在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更加应该关注的是伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观。

《标准》把“情感与态度”作为四大目标领域之一，与“知识技能”、“数学思考”、“解决问题”三大领域相提并论，这充分说明新一轮的数学课程标准改革对培养学生良好的情感与态度的高度重视。

它应该包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。

另一方面引导学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。

数学极限的思想总结（9）

一位年轻人毕业后被分配到一个海上油田钻井队，中方与日方合资合作，主管是一位日本人。

在海上工作的第一天，领班要求他在限定的时间内登上几十米高的钻井架，把一个包装好漂亮盒子送到最顶层的主管。他抱着盒子，一溜小跑，快步登上那高高的狭窄的舷梯，当他气喘嚅嚅、满头是汗登上顶层，把盒子交给主管，主管只在上面签下自己的名字，让他再送回去。他又快跑下舷梯，把盒子交给领班，领班也同样在上面签下自己的名字，让他再送给主管。他看了看领班，稍犹豫了一下，又转身登上舷梯。当他第二次登上顶层，把盒子交给主管时，浑身是汗两腿发颤。主管和上次一样，在盒子上签下他的名字，让他把盒子再送回去。他擦擦脸上的汗水，转身走向舷梯，把盒子送下来。领班签完字，让他再送上去。他有些愤怒了，他看看领班平静的脸，尽力忍着不发作。他擦了擦满脸的汗水，抬头看了那刚刚走下的舷梯，抱起盒子，艰难地一个台阶一个台阶地往上爬。当他上到是最顶层时，浑身上下都湿透了，汗水顺着脸颊往下趟。他第三次把盒子递给主管。主管看着他，傲慢地说:把盒子打开。

他撕开外面的包装纸，打开盒子。里面是两个玻璃罐，一罐咖啡，一罐咖啡伴侣。他愤怒地抬起头，双眼喷着怒火，射向主管。

这位傲慢的主管又对他说:“把咖啡冲上。”

这位年轻人再也忍不住了，叭地一下，把盒子扔在地上:“我不干了。”说完，他看看倒在地上的盒子，感到心里痛快了许多，刚才的愤怒释放了出来。

这时，这位傲慢的主管站起身来，直视他说:“你可以走了。不过，看在你上来三次的份上，我可以告诉你:刚才让你做的这些，叫做承受极限训练。因为我们在海上作业，随时会遇到危险，就要求队员身上一定要有极强的承受力，承受各种危险的考验，才能成功地完成海上作业任务。可惜，前面三次你都通过了，只差最后一点点，你没有喝到你冲的甜咖啡。现在，你可以走了。”

【成功提示】

承受是痛苦的，它压抑了人性本能的快乐。但是成功，往往就是在你承受常人承受不了的痛苦之后，才会在某个方面有所突破，实现最初的梦想。可惜，许多时候，我们只差一点点，为了一时痛快，而没有喝到我们冲的甜咖啡。

数学极限的思想总结（10）

寒假里给自己好好放个假，一天，我正得意忘形的在玩着，忽然听见门铃响了，通过猫眼看去，是楼上王奶奶。

我叫来妈妈，打开门，请王奶奶进来，原来王奶奶要回老家过年，请我们帮她负责楼道和大平台的卫生情况。哈哈!这个光荣的任务就交给我了。我每天跳一百个绳之后的一件事就是兴致勃勃的打扫楼道和大平台。

最近，由于过年家家放鞭炮，这栋楼就这一个大平台，扫起的烟花爆竹堆成一座座小山，看到这一座座小山我是沾沾自喜，然后就欢呼着喊妈妈来检查。

寒假里能算得上做好事，就属替王奶奶负责楼道，和帮妈妈做些力所能及的的家务了，最最开心的就是帮妈妈拌包子馅，好多的肉和菜我搅拌的可开心了，一会儿搭座城堡，一会可以“山蹦地列”，开开心心的帮妈妈把馅就和好了！

渐渐的我明白了一个道理：无论是熟悉人还是陌生人需要帮助时，都应该尽自己最大的力量帮助对方。大家都能做到互相帮助，我们的生活才会更美好！

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